2024年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共12题,满分54分.其中第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1.(4分)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},则= .
2.(4分)已知,则f(3)= .
3.(4分)已知x∈R,则不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为 .
4.(4分)已知f(x)=x3+a,x∈R,且f(x)是奇函数,则a= .
5.(4分)已知k∈R,=(2,5),
∥
,则k的值为 .
6.(4分)在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为 .
7.(5分)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9,那么P到x轴的距离为 .
8.(5分)某校举办科学竞技比赛,有A、B、C3种题库,A题库有5000道题,B题库有4000道题,C题库有3000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .
9.(5分)已知虚数z,其实部为1,且,则实数m为 .
10.(5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值 .
11.(5分)已知点B在点C正北方向,点D在点C的正东方向,BC=CD,存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°,则∠BCA= .(精确到0.1度)
12.(5分)无穷等比数列{an}满足首项a1>0,q>1,记In={x﹣y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,集合In是闭区间,则q的取值范围是 .
二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.(4分)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是( )
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
14.(4分)下列函数f(x)的最小正周期是2π的是( )
A.sinx+cosx B.sinxcosx
C.sin2x+cos2x D.sin2x﹣cos2x
15.(5分)定义一个集合Ω,集合元素是空间内的点集,任取P1,P2,P3∈Ω,存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3,使得.已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是( )
A.(0,0,0)∈Ω B.(﹣1,0,0)∈Ω
C.(0,1,0)∈Ω D.(0,0,﹣1)∈Ω
16.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M={x0|x0∈R,x∈(﹣∞,x0),f(x)<f(x0)},在使得M=[﹣1,1]的所有f(x)中,下列成立的是( )
A.存在f(x)是偶函数
B.存在f(x)在x=2处取最大值
C.存在f(x)为严格增函数
D.存在f(x)在x=﹣1处取到极小值
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(14分)如图为正四棱锥P﹣ABCD,O为底面ABCD的中心.
(1)若AP=5,,求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积;
(2)若AP=AD,E为PB的中点,求直线BD与平面AEC所成角的大小.
18.(14分)已知f(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)若y=f(x)过(4,2),求f(2x﹣2)<f(x)的解集;
(2)存在x使得f(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差数列,求a的取值范围.
19.(14分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
时间范围 | [0,0.5) | [0.5,1) | [1,1.5) | [1.5,2) | [2,2.5) |
学业成绩 | |||||
优秀 | 5 | 44 | 42 | 3 | 1 |
不优秀 | 134 | 147 | 137 | 40 | 27 |
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少?
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1).
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?
20.(18分)已知双曲线Γ:=1,(b>0),左右顶点分别为A1,A2,过点M(﹣2,0)的直线l交双曲线Γ于P、Q两点,且点P在第一象限.
(1)当离心率e=2时,求b的值;
(2)当,△MA2P为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)连接OQ并延长,交双曲线Γ于点R,若,求b的取值范围.
21.(18分)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),定义s(x)=(x﹣a)2+(f(x)﹣b)2,若存在P(x0,f(x0)),使s(x0)是s(x)的最小值,则称点P是函数f(x)到点M的“最近点”.
(1)对于(x>0),求证:对于点M(0,0),存在点P,使得点P是f(x)到点M的“最近点”;
(2)对于f(x)=ex,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是f(x)到点M的“最近点”,且直线MP与f(x)在点P处的切线垂直;
(3)已知f(x)存在导函数f′(x),函数g(x)恒大于零,对于点M1(t﹣1,f(t)﹣g(t)),点M2(t+1,f(t)+g(t)),若对任意t∈R,存在点P同时是f(x)到点M1与点M2的“最近点”,试判断f(x)的单调性.