一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（　　）

A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}

2．（4分）若复数z满足，则z＝（　　）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i

3．（4分）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（　　）

A． B．2 C．3 D．3

4．（4分）在的展开式中，x3的系数为（　　）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

5．（4分）设，是向量，则“（+）•（﹣）＝0”是“＝﹣或＝”的（　　）

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件 

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

6．（4分）设函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（4分）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（　　）

A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 

C．＝ D．＝

8．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为（　　）

A．1 B．2 C． D．

9．（4分）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

10．（4分）已知M＝{（x，y）|y＝x+t（x2﹣x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（　　）

A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C． D．

二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）抛物线y2＝16x的焦点坐标为       ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若，则cosβ的最大值为                ．

13．（5分）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为                 ．

14．（5分）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为    mm，升量器的高为      mm．（不计量器的厚度）

15．（5分）设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M＝{k|ak＝bk，k∈N*}，给出下列四个结论：

①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素．

其中正确结论的序号是     ．

三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，．

（1）求∠A；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．

条件①：b＝7；

条件②：cosB＝；

条件③：csinA＝．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE＝PE＝2．

（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．

（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

18．（15分）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．

假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．

（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．

（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；

（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）

19．（15分）已知椭圆方程E：，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．

（1）求椭圆E的方程及离心率；

（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．

20．（15分）设函数f（x）＝x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y＝f（x）在点（t，f（t））（t＞0）处的切线．

（1）当k＝﹣1，求f（x）单调区间；

（2）证明：l不经过（0，0）；

（3）当k＝1时，设点A（t，f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S△ACO与S△ABO分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S△ACO＝15S△ABO成立？若存在，这样的点A有几个？

（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）

21．（15分）已知集合M＝{（i，j，k，w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a1，a2，…，a8和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt＝（it，jt，kt，wt）∈M（t＝1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i1，j1，k1，w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T1（A）；将T1（A）的第i2，j2，k2，w2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T2T1（A）；……；以此类推，得到数列Ts⋯T2T1（A），简记为Ω（A）．

（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；

（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a1+2，a2+6，a3+4，a4+2，a5+8，a6+2，a+4，a8+4？若存在，写出一个Ω，若不存在，请说明理由；

（3）若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，求证：“存在序列Ω，使得Ω（A）的各项都相等”的充要条件为“a1+a2＝a3+a4＝a5+a6＝a7+a8”．