一、选择题。共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.(4分)已知集合M={x|﹣3<x<1},N={x|﹣1≤x<4},则M∪N=( )
A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|x>﹣3} C.{x|﹣3<x<4} D.{x|x<4}
2.(4分)若复数z满足,则z=( )
A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i
3.(4分)圆x2+y2﹣2x+6y=0的圆心到x﹣y+2=0的距离为( )
A. B.2 C.3 D.3
4.(4分)在的展开式中,x3的系数为( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
5.(4分)设,
是向量,则“(
+
)•(
﹣
)=0”是“
=﹣
或
=
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(4分)设函数f(x)=sinωx(ω>0).已知f(x1)=﹣1,f(x2)=1,且|x1﹣x2|的最小值为,则ω=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(4分)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )
A.3N2=2N1 B.2N2=3N1
C.=
D.
=
8.(4分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,该棱锥的高为( )
A.1 B.2 C. D.
9.(4分)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则( )
A.
B.
C.
D.
10.(4分)已知M={(x,y)|y=x+t(x2﹣x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则( )
A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C. D.
二、填空题。共5小题,每小题5分,共25分。
11.(5分)抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若,则cosβ的最大值为 .
13.(5分)若直线y=k(x﹣3)与双曲线只有一个公共点,则k的一个取值为 .
14.(5分)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,底面直径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 mm,升量器的高为 mm.(不计量器的厚度)
15.(5分)设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列,且都不是常数列.记集合M={k|ak=bk,k∈N*},给出下列四个结论:
①若{an}与{bn}均为等差数列,则M中最多有1个元素;
②若{an}与{bn}均为等比数列,则M中最多有2个元素;
③若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多有3个元素;
④若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题。共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,.
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cosB=;
条件③:csinA=.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上,且PE⊥AD,DE=PE=2.
(1)若F为线段PE的中点,求证:BF∥平面PCD.
(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
18.(15分)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
保单份数 | 800 | 100 | 60 | 30 | 10 |
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望EX;
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中EX估计值的大小,(结论不要求证明)
19.(15分)已知椭圆方程E:,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>
)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
20.(15分)设函数f(x)=x+kln(1+x)(k≠0),直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线.
(1)当k=﹣1,求f(x)单调区间;
(2)证明:l不经过(0,0);
(3)当k=1时,设点A(t,f(t))(t>0),C(0,f(t)),O(0,0),B为l与y轴的交点,S△ACO与S△ABO分别表示△ACO和△ABO的面积.是否存在点A使得2S△ACO=15S△ABO成立?若存在,这样的点A有几个?
(参考数据:1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)
21.(15分)已知集合M={(i,j,k,w)|i∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},w∈{7,8},且i+j+k+w为偶数}.给定数列A:a1,a2,…,a8和序列Ω:T1,T2,…,Ts,其中Tt=(it,jt,kt,wt)∈M(t=1,2,…,s),对数列A进行如下变换:将A的第i1,j1,k1,w1项均加1,其余项不变,得到的数列记作T1(A);将T1(A)的第i2,j2,k2,w2项均加1,其余项不变,得到的数列记作T2T1(A);……;以此类推,得到数列Ts⋯T2T1(A),简记为Ω(A).
(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出Ω(A);
(2)是否存在序列Ω,使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a+4,a8+4?若存在,写出一个Ω,若不存在,请说明理由;
(3)若数列A的各项均为正整数,且a1+a3+a5+a7为偶数,求证:“存在序列Ω,使得Ω(A)的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.