2024年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．（4分）log2x的定义域        ．

2．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为     ．

3．（4分）已知，则＝      ．

4．（4分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为    ．

5．（4分）三角形ABC中，，则AB＝                 ．

6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为    ．

7．（5分）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为         ．

8．（5分）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为  ．

9．（5分）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围        ．

10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角                 ．

11．（5分）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长      ．（精确到0.01）

12．（5分）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有    对．

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13．（4分）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）

A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c

14．（4分）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（　　）

A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n            B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β 

C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n            D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

15．（5分）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（　　）

A．事件A与事件B互斥                B．事件A与事件B相互独立 

C．事件A与事件B∪C互斥                D．事件A与事件B∩C相互独立

16．（5分）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（　　）

（1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点

（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）

17．（14分）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．

（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；

（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．

18．（14分）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．

（1）证明：PA⊥BC；

（2）若圆锥侧面积为为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．

19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．

（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；

（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．

（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（18分）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．

（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；

（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．

（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．