2024年上海市中考数学试卷

一、选择题（每题4分，共24分）

1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（　　）

A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y

2．（4分）函数的定义域是（　　）

A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3

3．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0

4．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　）

A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类

5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　）

A．内含 B．相交 C．外切 D．相离

二、填空题（每题4分，共48分）

7．（4分）计算：（4x2）3＝      ．

8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝       ．

9．（4分）已知，则x＝  ．

10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的       倍．（用科学记数法表示）

11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而    .（选填“增大”或“减小”）

12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝    °．

13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为      万元．

14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有  个绿球．

15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则＝                 （结果用含，的式子表示）．

16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有      人．

17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝                 ．

18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为  ．

三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）

19．（10分）计算：．

20．（10分）解方程组：．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）．

（1）求k与m的值；

（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．

22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．

（1）若直角三角形斜边上的高都为h，求：

①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；

②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；

（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．

23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．

（1）求证：AD2＝DE•DC；

（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）．

（1）求平移后新抛物线的表达式；

（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；

①如果PQ小于3，求m的取值范围；

②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．

25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．

（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；

（2）已知AD＝AE＝1；

①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；

②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．