2024年辽宁中考数学试题及答案

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中；有一项是符合题目要求的）

1．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（    ）

A．   B．   C．   D．  

2．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：

其中最低海拔最小的大洲是（    ）

A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲

3．越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大型产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ）

A． B． C． D．

5．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（    ）

A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球

7．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．16

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11．方程的解为     ．

12．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为     ．

13．如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为     ．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为     ．

15．如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为     （用含的代数式表示）．

三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16．（1）计算：；

（2）计算：．

17．甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)求甲池的排水速度．

(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？

18．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：

信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：

80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；

(2)求所抽取的学生成绩的中位数；

(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．

19．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．

20．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）

(1)求的长；

(2)求物体上升的高度（结果精确到）．

21．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．

(1)如图1，求证：是的切线；

(2)如图2，若，，求的长．

22．如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．

图1                图2                   图3

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；

(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．

①求证：点是的中点；

②若，求的面积．

23．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．

图1                          图2

(1)求函数的“升幂函数”的函数表达式；

(2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；

(3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．

①若点与点重合，求的值；

②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；

③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．

参考答案

1．A

【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，下面左边有1个正方形．

故选：A．

2．A

【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案．

【详解】，，，

∵，

∴，

∴海拔最低的是亚洲．

故选：A．

3．C

【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

【详解】解：，

故选：C．

4．C

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

故选：C．

5．D

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．

【详解】A．，故本选项原说法不符合题意；

B．，故本选项原说法不合题意；

C．，故本选项原说法不合题意；

D．，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．B

【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案．

【详解】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意；

B、摸出红球，符合题意；

C、摸出绿球，不符合题意；

D、摸出黑球，不符合题意；

故选：B．

7．B

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

8．D

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．

【详解】解：设鸡有只，兔有只，

由题意得：，

故选：D．

9．C

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴周长为：，

故选：C．

10．B

【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．

【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，

∵顶点在直线上，点的横坐标是8，

∴，即，

∴，

∵轴，

∴由勾股定理得：，

∵四边形是菱形，

∴轴，

∴将点B向左平移10个单位得到点C，

∴点，

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．

11．

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

先去分母，再解一元一次方程，最后再检验．

【详解】解：，

，

解得：，

经检验：是原方程的解，

∴原方程的解为：，

故答案为：．

12．

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．

先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标．

【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点，

∴向上平移2个单位后得到点，

故答案为：．

13．12

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．

可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：12．

14．

【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．

【详解】解：把点，点代入抛物线得，

，

解得，

∴抛物线，

令，得，

解得或，

∴，

∴；

故答案为：．

15．

【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．

利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．

【详解】解：由作法得，平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

16．（1）；（2）1

【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．

（1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算；

（2）先计算乘法，再计算加法即可．

【详解】解：（1）原式

；

（2）原式

．

17．(1)

(2)4小时

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．

（1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可；

（2）设排水a小时，则，再解不等式即可．

【详解】（1）解：设甲池的排水速度为，

由题意得，，

解得：，

答：甲池的排水速度为；

（2）解：设排水a小时，

则，

解得：，

答：最多可以排4小时．

18．(1)7人

(2)85

(3)120人

【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．

（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；

（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；

（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．

【详解】（1）解：总人数为：（人），

∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；

（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，

∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，

∴中位数为：；

（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），

答：成绩为A等级的人数为120．

19．(1)；

(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。

【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；

（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．

【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，

将，代入得

，

解得，

与之间的函数表达式为；

（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：

依题意得，

整理得，

∴，

∴该商品日销售额不能达到元．

20．(1)

(2)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

（1）解即可求解；

（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．

【详解】（1）解：由题意得，，

∵，，

∴在中，由，

得：，

∴,

答：；

（2）解：在中，由勾股定理得，，

在中，，

∴，

∴，

由题意得，，

∴，

∴，

答：物体上升的高度约为．

21．(1)见详解

(2)

【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线；

（2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为．

【详解】（1）证明：连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵为直径，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线；

（2）解：连接，

由（1）得，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴长为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键．

22．(1)见详解

(2)

(3)30

【分析】（1）利用“”即可证明；

（2）可知，证明，则，可得，则，故；

（3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点；

②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故．

【详解】（1）证明：如图，

由题意得，，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）猜想：

证明：∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）解：①由题意得，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，即点F是中点；

②过点F作交于点M，连接，

∵，

∴，

设，，

∴，

由翻折得，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

整理得，，

解得：或（舍，此时） ，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

∴，

∵，

∴，，

∴点M为中点，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)①或；②；③或

【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解，

（2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解，

（3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：，，当，，，当，，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，

【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．

【详解】（1）解：根据题意得：，

故答案为：，

（2）解：设点，则，

∵，在点上方，

∴， 解得：，

∴；

（3）解：①根据题意得：，则，

∵点与点重合，

∴，解得：或，

②根据题意得：，

∴对称轴为，、关于对称轴对称，

∵，则，

∴，解得：，

∴，，

∵点在点的上方，

∴，解得：，

∴，

当，点在点右侧时，，，

当，点在点左侧时，，，

∴，

③∵，

∴，，

当时，，

当时，，

当时，，

∴，，，

当时，直线与函数的图象有3个交点，

当时，直线与函数的图象有2个交点，

直线与函数交于、两点，，即：，

∴，，，

直线与函数交于、两点，，即：，

∴，，，

∵，

∴，整理得：，

当时，

，解得：或（舍），

∴，

∴，解得：，

∴，

或．