2024年广东中考数学试题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算－5＋3的结果是（    ）

A．2 B．－2 C．8 D．－8

2．下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

5．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ）

A．2 B．5 C．10 D．20

8．若点都在二次函数的图象上，则（    ）

A． B． C． D．

9．方程的解为（    ）

A． B． C． D．

10．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11．数据2，3，5，5，4的众数是   ．

12．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是     ．

13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则      ．

14．计算：      ．

15．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为     ．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

16．计算：．

17．如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．

18．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）

(1)求的长；

(2)该充电站有20个停车位，求的长．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：

(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？

(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？

(3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．

20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）

21．综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．

22．【知识技能】

（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．

【数学理解】

（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．

【拓展探索】

（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

23．【问题背景】

如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．

【构建联系】

（1）求证：函数的图象必经过点C．

（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．

【深入探究】

（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．

1．B

【分析】根据有理数的加法法则，即可求解.

【详解】∵－5＋3=-(5-3)=-2，

故答案是：B.

【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键.

2．C

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：C．

3．B

【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．

根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．

【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，

∴用科学记数法表示为，

故选：B．

4．C

【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

由题意知，，根据，求解作答即可．

【详解】解：由题意知，，

∴，

故选：C．

5．D

【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．

【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；

B、，原式计算错误，不符合题意；

C、，原式计算错误，不符合题意；

D、，原式计算正确，符合题意；

故选：D．

6．A

【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可．

【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是，

故选：A．

7．B

【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．

【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，

∴一个正方形的面积为，

∴正方形的边长为，

故选：B．

8．A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．

【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，

∴当时，y随x的增大而增大，

∵点都在二次函数的图象上，且，

∴，

故选∶A．

9．C

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：

去分母得：，

去括号得：，

移项、合并同类项得：，

解得：x=9，

经检验：x=9是原分式方程的解，

故选：C．

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．

10．B

【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．

【详解】解∶∵不等式的解集是，

∴当时，，

观察各个选项，只有选项B符合题意，

故选：B．

11．5

【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．

【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，

∴这组数据的众数为5．

故答案为：5．

【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．

12．##

【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．

【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，

∴不等式组的解集为，

故答案为：．

13．1

【分析】由有两个相等的实数根，可得进而可解答．

【详解】解：∵有两个相等的实数根，

∴，

∴．

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．

14．1

【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．

【详解】解：，

故答案为：1．

15．10

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可．

【详解】解：连接，

∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，

∴，，

设菱形中边上的高为h，

则，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：10．

16．2

【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．

【详解】解：

．

17．(1)见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．

（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；

（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．

【详解】（1）解：如图1，即为所作；

（2）证明：如图2，作于，

∵是的平分线，，，

∴，

∵是半径，，

∴与相切．

18．(1)

(2)

【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：

（1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案；

（2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案．

【详解】（1）解：∵四边形是矩形，

∴，

在中，，，

∴，，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴

（2）解：在中，，

在中，，

∵该充电站有20个停车位，

∴，

∵四边形是矩形，

∴．

19．(1)王先生会选择B景区去游玩

(2)王先生会选择A景区去游玩

(3)最合适的景区是B景区，理由见解析（不唯一）

【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数：

（1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；

（2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；

（3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可．

【详解】（1）解：A景区得分为分，

B景区得分为分，

C景区得分为分，

∵，

∴王先生会选择B景区去游玩；

（2）解：A景区得分分，

B景区得分分，

C景区得分分，

∵，

∴王先生会选择A景区去游玩；

（3）解：最合适的景区是B景区，理由如下：

设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为，

A景区得分为分，

B景区得分为分，

C景区得分为分，

∵，

∴王先生会选择B景区去游玩．

20．当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，

由题意得，

，

∵，

∴当时，w有最大值，最大值为，

∴，

答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．

21．(1)能，见解析

(2)

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．

【详解】（1）解：能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，

根据题意，得，

解得，

∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；

（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，

根据题意，得，

解得，

∴，

∴圆锥的体积为．

22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析

【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；

（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明；

（3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足．

【详解】证明：（1）是的中位线，

且．

又绕点D按逆时针方向旋转得到

．

（2）由题意可知：，，．

作，则且，

又，

．

根据外角定理

，

，

．

又，是的中位线，

，

，

，

，

，

．

（3）存在点使得．

∵，

∴，

∴在中，，

过点C作于点M，

∴，

∵，

∴

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴点M是的中点，

∴是的垂直平分线，

过点D作，交于点P，连接，，

∴，

∴根据三线合一得，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

过点P作于点N，则四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴点N是的中点，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴，

∵，

∴

即，

∴，

∴当点G与点P重合时，满足．

【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．

23．（1）证明见解析；（2）；（3）

【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解；

（2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解；

（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．

【详解】（1）设，则，

∵轴，

∴D点的纵坐标为，

∴将代入中得：得，

∴，

∴，

∴，

∴将代入中得出，

∴函数的图象必经过点C；

（2）∵点在直线上，

∴，

∴，

∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，

∵函数的图象经过点A，C，

∴，，

∴，

∴，

∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，

∴，，

∴，

如图，过点D作轴，过点B作轴，

∵轴，

∴H，A，D三点共线，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴,

∵，

∴，，

∴，

由图知，，

∴，

∴；

（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，

∴，

∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形，，

∴，，，

∵轴，

∴直线为一，三象限的夹角平分线，

∴，

当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，

∵轴，

∴H，A，D三点共线，

∵以点O为圆心，长为半径作，，

∴，

∴，

∴，，，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，

∵,

∴为等边三角形，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

∵轴，

∴，

∴，

∴,

∴，

∴，

∴，

∴,

∴当与的边有交点时，k的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．