2024年福建中考数学试题及答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．下列实数中，无理数是（    ）

A． B．0 C． D．

2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（    ）

A． B．

C． D．

4．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ）

A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有

C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．因式分解：x2+x=    ．

12．不等式的解集是     ．

13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是     ．（单位：分）

14．如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为     ．

15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为     ．

16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则     ．（单位：）（参考数据：）

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．计算：．

18．如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．

19．解方程：．

20．已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．

(1)求A地考生的数学平均分；

(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．

21．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．

22．如图，已知直线．

(1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．

23．已知实数满足．

(1)求证：为非负数；

(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．

24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

           图1                                                                   图2                                      图3

(1)直接写出的值；

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ）

图4

A．        B．

C．        D．

(3)

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

25．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．

(1)求的值；

(2)求证：；

(3)求证：与互相平分．

1．D

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．

【详解】根据无理数的定义可得：无理数是

故选：D．

2．C

【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．

【详解】

故选：C．

3．C

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．

故选：C．

4．A

【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．

【详解】∵，

∴，

∵，则，

∴，

故选：A．

5．B

【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．

利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．

【详解】解：，A选项错误；

，B选项正确；

，C选项错误；

，D选项错误；

故选：B．

6．B

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．

【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是

，

故选：B

7．A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．

【详解】∵，为的中点，

∴

∵

∴

∵直线与相切，

∴，

∴

故选：A．

8．A

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可．

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：

，

故选：A．

9．B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断；

B.不一定等于，即可判断；

C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；

D. 过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键．

【详解】解：A.，

，

由对称得，

点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，

，，

，

，结论正确，故不符合题意；

B.不一定等于，结论错误，故符合题意；

C.由对称得，

∵点E，F分别是底边的中点，

，结论正确，故不符合题意；

D.

过作，

，

，

，由对称得，

，

同理可证，

，结论正确，故不符合题意；

故选：B．

10．C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．

【详解】解：二次函数解析式为，

二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，

当时，，

当时，，

，

当时，，

，

故A、B错误，不符合题意；

当时，，

由二次函数对称性可知，，

当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C．

11．

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．

【详解】解：

12．

【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．

【详解】解：，

，

，

故答案为：．

13．90

【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．

根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；

【详解】解：∵共有12个数，

∴中位数是第6和7个数的平均数，

∴中位数是；

故答案为：90．

14．2

【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．

【详解】解：正方形的面积为4，

，，

点，，，分别为边，，，的中点，

，

，

同理可得，

四边形的面积为．

故答案为：2．

15．

【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．

【详解】解：如图：连接

∵反比例函数的图象与交于两点，且

∴

设，则

∵

∴

则

∵点在第一象限

∴

把代入得

∴

经检验：都是原方程的解

∵

∴

故答案为：

16．128

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．

【详解】解：如图，

∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，

∴，，

∵，

∴，

在中，，，

∴，

由题意可知，，

∴，

∴

在中，，

∴，

故答案为：

17．4

【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．

根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；

【详解】解：原式．

18．见解析

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可．

【详解】证明：四边形是菱形，

，，

，

，

．

19．．

【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．

【详解】解：，

方程两边都乘，得．

去括号得：，

解得．

经检验，是原方程的根．

20．(1)86；

(2)不能，举例见解析．

【分析】本小题考查加权平均数等基础知识，

（1）根据平均数的概念求解即可；

（2）根据平均数的意义求解即可．

【详解】（1）由题意，得A地考生的数学平均分为．

（2）不能．

举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为

．

因为，

所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．

21．(1)

(2)

【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．

【详解】（1）解：将代入，

得，

解得，

所以，二次函数的表达式为．

（2）设，因为点在第二象限，所以．

依题意，得，即，所以．

由已知，得，

所以．

由，

解得（舍去），

所以点坐标为．

22．(1)见解析；

(2)的面积为1或．

【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：

（1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可；

（2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可

【详解】（1）解：如图，

直线就是所求作的直线．

（2）①当时，

，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，

，

．

②当时，

分别过点作直线的垂线，垂足为，

．

，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，

．

，，

，，

．

在中，由勾股定理得，

．

．

③当时，同理可得，．

综上所述，的面积为1或．

23．(1)证明见解析；

(2)不可能都为整数，理由见解析．

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．

（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；

（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．

【详解】（1）解：因为，

所以．

则

．

因为是实数，所以，

所以为非负数．

（2）不可能都为整数．

理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．

①当都为奇数时，则必为偶数．

又，所以．

因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．

②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．

又因为，所以．

因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．

综上所述，不可能都为整数．

24．(1)2；

(2)C；

(3)见解析．

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．

（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；

（2）根据几何体的展开图即可求解；

（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．

【详解】（1）解：如图：

上述图形折叠后变成：

由折叠和题意可知，，，

∵四边形是正方形，

∴，即，

∴，即，

∵，

∴，

∴的值为：．

（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，

∴C选项符合题意，

故选：C．

（3）解：

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：

∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则

（个），

∴所用卡纸总费用为：

（元）．

25．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果；

（2）过点作，交延长线于点，先证明，可得

，再证得，再由相似三角形的判定可得结论；

（3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出， 得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．

【详解】（1），且是的直径，

．

，

在中，．

，

在中，．

，

；

（2）过点作，交延长线于点．

．

，

，

．

，

，

，

，，

．

，

，

，

．

（3）如图，连接．

是的直径，

．

，

．

由（2）知，，

，

，

．

．

，

．

由（2）知，，

．

，

，

，

四边形是平行四边形，

与互相平分．

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．