2019中考数学一轮复习单元检测试卷

第十七单元 勾股定理

考试时间：120分钟；满分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．1、2、3B．3、4、5C．12、15、18D．1、、3

2．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（　　）

A．4B．C．4或D．4或34

3．如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

4．在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（　　）

A．2B．3C．4D．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．4B．4πC．8πD．8

6．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2.2B．C．D．

7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A．B．

C．D．

8．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．a：b：c＝1：1：B．a：b：c＝1：1：

C．a：b：c＝2：2：3D．a：b：c＝：2：

9．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（　　）

A．3B．5C．4.2D．4

10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（　　）

A．12.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上），则点C到AB的距离为．

12．若CD是△ABC的高，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则CD的长为．

13．有两根木棒，分别长6cm、5cm，要再在7cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是．

14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．

三、解答题（本大题共9小题，满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）

15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．

16．某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．

17．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：

（1）在网格中画出长为的线段AB．

（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．

18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

19．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

20．如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．

（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；

（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；

（3）如果m表示大于1的整数，且a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．

21．[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

22．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；

（2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、N两点的距离为；

（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．

（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度．

23．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．

（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）

方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．

（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？