高考解析几何经典题型解析——向量与双曲线的碰撞

典型例题：

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0），B（0，﹣1），动点P（x，y）满足：\(\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB} （m∈R）\)   

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹与双曲线C：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1（a＞0，b＞0）\)交于相异两点M、N，若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的\sqrt2 倍，求双曲线C的方程．

题型归类与解题思路

本题属于解析几何综合题，涉及以下核心知识点：

1. 向量线性运算与轨迹方程

通过向量表达式建立动点坐标关系，消参得轨迹方程。

2. 直线与双曲线的位置关系

联立方程求交点，利用韦达定理处理根与系数关系。

3. 几何条件的代数化

将“以MN为直径的圆过原点”转化为向量垂直或坐标满足的方程。

4. 双曲线的几何性质

根据实轴、虚轴比例关系确定参数。

通用解题步骤：

1. 轨迹方程：分解向量表达式为坐标，消去参数。

2. 联立方程：直线与双曲线联立，应用韦达定理。

3. 代数转化：几何条件转化为根与系数的方程。

4. 参数求解：结合双曲线性质解方程，得出结果。

题目详细解答

题目详细解答 （1）求点P的轨迹方程 由题意，\(\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB}\)，分解得： \[ \begin{cases} x = m \cdot 1 + (m-1) \cdot 0 = m \\ y = m \cdot 0 + (m-1) \cdot (-1) = -m + 1 \end{cases} \] 消去参数\(m\)，得轨迹方程： \[ y = -x + 1 \quad \text{或} \quad x + y = 1. \] （2）求双曲线C的方程 Step 1：确定双曲线参数关系 虚轴长是实轴长的\(\sqrt{2}\)倍，即\(2b = \sqrt{2} \cdot 2a \Rightarrow b = \sqrt{2}a\)，故双曲线方程为： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2a^2} = 1. \] Step 2：联立直线与双曲线 将\(y = 1 - x\)代入双曲线方程： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(1-x)^2}{2a^2} = 1 \implies 2x^2 - (1-2x+x^2) = 2a^2 \implies x^2 + 2x - (1+2a^2) = 0. \] 设根为\(x_1, x_2\)，由韦达定理： \[ x_1 + x_2 = -2, \quad x_1x_2 = -(1+2a^2). \] Step 3：应用几何条件 以MN为直径的圆过原点\(\Rightarrow OM \perp ON\)，即： \[ x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \implies x_1x_2 + (1-x_1)(1-x_2) = 0. \] 展开并代入韦达定理： \[ 2x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 0 \implies 2(-1-2a^2) - (-2) + 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{4}. \] 故双曲线方程为： \[ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} - \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1 \quad \text{或} \quad 4x^2 - 2y^2 = 1. \]