双曲线点列构造中的递推关系与几何定值探秘

典型例题：

已知双曲线C：4y²﹣x²＝m，点P1（﹣1，1）在C上．按如下方式构造点P_n（n≥2）：过点P_n﹣1作斜率为﹣1的直线与C的下支交于点Q_n﹣1，点Q_n﹣1关于x轴的对称点为P_n，记点Pn的坐标为（x_n，y_n）．

（Ⅰ）求x₂，y₂的值；

（Ⅱ）记an＝2y_n+x_n，证明：数列{a_n}为等比数列；

（Ⅲ）记△P_nP_n+1P_n+2的面积为S_n，证明：S_n是定值．

题目类型与知识点定位:

本题属于圆锥曲线与递推数列综合应用题型，核心知识点包括：

1. 双曲线几何性质：对称性、渐近线方向对交点的影响

2. 代数几何综合：直线与双曲线联立求交点坐标

3. 递推数列构造：通过几何操作建立代数递推关系

4. 定值问题证明：利用坐标法计算三角形面积并化简

解题思路框架：

1. 几何操作代数化：将作直线、取对称点等步骤转化为坐标运算

2. 递推关系建立：通过参数分析建立相邻点坐标关系式

3. 代数化简技巧：利用对称性简化计算，寻找不变量

4. 定值证明策略：通过坐标行列式计算面积并化简为常数

详细解答:

(I)由题知双曲线 $C: 4y^2 - x^2 = m$。点 $P_1(-1,1)$ 在 $C$ 上，故 $$ m = 4 \times 1^2 - (-1)^2 = 3 $$ 所以双曲线 $C: 4y^2 - x^2 = 3$。又过点 $P_1$ 斜率为$-1$的直线方程为 $$ y = -x $$ 由双曲线与直线的对称性可知 $Q_1(1,-1)$，所以 $P_2(1,1)$，即 $$ x_2 = y_2 = 1 $$

(II)因为 $P_n(x_n, y_n)$，所以 $Q_{n-1}(x_n, -y_n)$。对 $P_{n-1}(x_{n-1}, y_{n-1})\ (n \geqslant 2)$，有 $$ k_{P_{n-1}Q_{n-1}} = \frac{y_{n-1} + y_n}{x_{n-1} - x_n} = -1 $$ 于是 $$ y_n + y_{n-1} = -(x_{n-1} - x_n) = x_n - x_{n-1} \quad \text{①} $$ 由于 $P_n \in C,\ P_{n-1} \in C$，故 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 \quad \text{且} \quad 4y_{n-1}^2 - x_{n-1}^2 = 3 $$ 两式作差可得 $$ 4(y_n - y_{n-1})(y_n + y_{n-1}) = (x_n - x_{n-1})(x_n + x_{n-1}) \quad \text{②} $$ 将①代入②得 $$ 4(y_n - y_{n-1}) = x_n + x_{n-1} \quad \text{③} $$ 由③－①$\times 2$ 得 $$ 2y_n - 6y_{n-1} = -x_n + 3x_{n-1} $$ 由(II)知 $a_n = 2y_n + x_n = 3^{n-1}$，又 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 $$ 解得 $$ 2y_n - x_n = 3^{2-n} $$ 则 $$ x_n = \frac{1}{2}(3^{n-1} - 3^{2-n}), \quad y_n = \frac{1}{4}(3^{n-1} + 3^{2-n}) $$ 因为 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} = \left( x_{n+1} - x_n,\ y_{n+1} - y_n \right) = \left( 3^{n-1} + 3^{1-n},\ \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \right) $$ 且 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+2}} = \left( x_{n+2} - x_n,\ y_{n+2} - y_n \right) = \left( 4(3^{n-1} + 3^{-n}),\ 2(3^{n-1} - 3^{-n}) \right) $$ 即 $$ 2y_n + x_n = 3(2y_{n-1} + x_{n-1}) \quad (n \geqslant 2) $$ 因为 $a_n = 2y_n + x_n$，所以 $a_n = 3a_{n-1}\ (n \geqslant 2)$，又 $a_1 = 2y_1 + x_1 = 1$，故 $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = 3 \quad (n \geq 2) $$ 因此数列$\{a_n\}$是首项为1、公比为3的等比数列。

(III)由(II)知 $a_n = 2y_n + x_n = 3^{n-1}$，又 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 $$ 解得 $$ 2y_n - x_n = 3^{2-n} $$ 则 $$ x_n = \frac{1}{2}(3^{n-1} - 3^{2-n}), \quad y_n = \frac{1}{4}(3^{n-1} + 3^{2-n}) $$ 因为 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} = \left( 3^{n-1} + 3^{1-n},\ \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \right) $$ 且 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+2}} = \left( 4(3^{n-1} + 3^{-n}),\ 2(3^{n-1} - 3^{-n}) \right) $$ 所以 $$ S_n = \frac{1}{2} \left| (x_{n+1} - x_n)(y_{n+2} - y_n) - (x_{n+2} - x_n)(y_{n+1} - y_n) \right| $$ 展开得 $$ S_n = \frac{1}{2} \left| \left(3^{n-1} + 3^{1-n}\right) \cdot 2\left(3^{n-1} - 3^{-n}\right) - \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \cdot 4\left(3^{n-1} + 3^{-n}\right) \right| = \frac{4}{3} $$ 即 $S_n$ 是定值 $\frac{4}{3}$。