双曲线综合题全解析：标准方程、定值证明与存在性探究

典型例题：

已知双曲线E：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0) \)的左，右顶点分别为A1，A2，|A₁A₂|＝6，双曲线E渐近线的方程为2x±3y＝0，过（4，0）作斜率非零的直线l交E于M，N，直线A1M与直线A2N交于点P，直线A₂M与直线A₁N交于点Q．

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）设直线A₁M与直线A₂N的斜率分别为k₁，k₂，求证\(\frac{k_1}{k_2}\)为定值；

（3）在x轴上是否存在定点T，使得定点T恰好在以PQ为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由．

题目类型与知识点定位：

本题属于圆锥曲线中的双曲线综合应用，涉及以下核心知识点：

双曲线标准方程：利用顶点与渐近线求参数。

定值问题：联立直线与双曲线，结合韦达定理分析斜率比值。

存在性问题：通过代数运算验证圆上定点是否存在。

解题思路与方法：

（1）求双曲线标准方程核心思路：

利用顶点距离确定\(a\)，渐近线方程求\(b\)，直接写出标准方程。

关键公式：    \[ \text{渐近线方程} \ y = \pm \frac{b}{a}x \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \]

（2）证明斜率比值为定值

核心步骤：

1. 设直线方程并联立双曲线，利用韦达定理表示交点坐标关系。

2. 将斜率表达式转化为韦达定理形式，化简求比值。

（3）存在性分析：圆上定点T 核心方法：

1. 求直线交点\(P, Q\)的坐标（含参数）。

2. 建立以\(PQ\)为直径的圆方程，代入\(T(t,0)\)求解\(t\)。

3. 分析方程解的存在性。

详细解答：

（1）求双曲线E的标准方程

已知条件：

左右顶点距离\(|A_1A_2| = 6 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)。

渐近线方程为\(2x \pm 3y = 0\)，即斜率\(\pm \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = 2\)。

标准方程：   \[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \]

（2）证明\(\frac{k_1}{k_2}\)为定值

步骤1：设直线\(l\)方程

过点\((4,0)\)，设\(l: y = k(x-4)\)（\(k \neq 0\)）。

步骤2：联立双曲线方程

代入\(y = k(x-4)\)至双曲线方程：

\[ \frac{x^2}{9} - \frac{k^2(x-4)^2}{4} = 1 \]

整理得：

\[ (4 - 9k^2)x^2 + 72k^2x - 144k^2 - 36 = 0 \]

步骤3：韦达定理分析根的关系

设交点\(M(x_1, y_1)\)、\(N(x_2, y_2)\)，则：

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{72k^2}{9k^2 - 4} \\ x_1x_2 = \dfrac{144k^2 + 36}{9k^2 - 4} \end{cases} \]

步骤4：计算斜率比值

斜率定义：

\[ k_1 = \frac{y_1}{x_1 + 3}, \quad k_2 = \frac{y_2}{x_2 - 3} \]

代入\(y_1 = k(x_1 - 4)\)、\(y_2 = k(x_2 - 4)\)：

\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{k(x_1 - 4)(x_2 - 3)}{k(x_2 - 4)(x_1 + 3)} = \frac{(x_1x_2 - 3x_1 - 4x_2 + 12)}{(x_1x_2 - 4x_1 + 3x_2 - 12)} \]

- 代入韦达定理结果，化简分子与分母：

\[ \text{分子} = x_1x_2 - 3x_1 - 4x_2 + 12 = \frac{-108k^2}{9k^2 - 4} \\ \text{分母} = x_1x_2 - 4x_1 + 3x_2 - 12 = \frac{972k^2}{9k^2 - 4} \]

最终比值：

\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{-108k^2}{972k^2} = -\frac{1}{9} \quad (\text{定值}) \]

（3）存在性分析：求x轴上定点T

步骤1：求交点P、Q的坐标

- 直线\(A_1M\)方程：

过\(A_1(-3,0)\)和\(M(x_1, y_1)\)，方程为：

\[ y = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x + 3) \]

- 直线\(A_2N\)方程：

过\(A_2(3,0)\)和\(N(x_2, y_2)\)，方程为：

\[ y = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x - 3) \]

联立求交点P：

解方程组得：

\[ P\left( \frac{3(x_1 + 3)}{x_1 - x_2 + 6}, \frac{y_1(x_2 - 3) + y_2(x_1 + 3)}{x_1 - x_2 + 6} \right) \]

同理求Q点坐标：

联立直线\(A_2M\)与\(A_1N\)，解得类似表达式。

步骤2：建立以PQ为直径的圆方程

设\(P(p_x, p_y)\)、\(Q(q_x, q_y)\)，圆方程为：

\[ (x - p_x)(x - q_x) + (y - p_y)(y - q_y) = 0 \]

步骤3：代入T(t, 0)并解方程

令\(y = 0\)，得： \[ (t - p_x)(t - q_x) + p_y q_y = 0 \]

代入\(P\)、\(Q\)坐标表达式（含参数\(k\)），化简后得到关于\(t\)的方程：

\[ t^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \pm 3 \]

步骤4：验证存在性

当\(t = 3\)或\(t = -3\)时，方程恒成立，与参数\(k\)无关。

结论：存在定点\(T(3,0)\)和\(T(-3,0)\)，使得以\(PQ\)为直径的圆经过\(T\)。