双曲线综合题解析：定点问题与位置关系的探究

例题：

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0)$ 的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝2．

（1）求Γ的方程；

（2）直线l与Γ的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，且$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1$

（i）求证：直线l过定点；

（ii）P（﹣1，2），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系．

解题思路与方法

1. 确定双曲线方程：

利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 和实轴长 $|AB|=2a$，结合 $c^2=a^2+b^2$ 求解参数 $a,b$。

2. 定点问题的处理：

设直线方程并代入双曲线，利用韦达定理表示交点坐标。

根据斜率条件建立方程，消去参数，找到直线方程中隐含的定点。

3. 位置关系的判断：

求直线交点坐标，联立方程解出关键点。

计算相关直线的斜率，通过斜率相等或乘积为-1判断平行或垂直。

详细解答

(1) 求双曲线方程

已知离心率 $e=2$，即 $\frac{c}{a}=2$，得 $c=2a$。

顶点 $A(-a,0)$, $B(a,0)$，故 $|AB|=2a=2$，解得 $a=1$。

由 $c^2=a^2+b^2$，代入 $c=2a=2$，得 $4=1+b^2$，故 $b^2=3$。

双曲线方程为：

$$\mathrm{\Gamma }:\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{3}=1\text{即}{x}^2-\frac{y^2}{3}=1.$$

(2)(i) 证明直线 $l$ 过定点

步骤1：设直线方程

设直线 $l$ 过定点 $P(-1,2)$，方程为 $y=k(x+1)+2$。代入双曲线方程：

$$x^2-\frac{[k(x+1)+2{]}^2}{3}=1.$$

展开整理得关于 $x$ 的二次方程：

$$(3-k^2)x^2-2k(k+2)x-(k^2+4k+7)=0.$$

步骤2：求交点 $C,D$ 的坐标

设根为 $x_1,x_2$，对应 $y_1=k(x_1+1)+2$, $y_2=k(x_2+1)+2$。由韦达定理：

$$x_1+x_2=\frac{2k(k+2)}{3-k^2},x_1{x}_2=\frac{-(k^2+4k+7)}{3-k^2}.$$

步骤3：计算斜率 $k_1,k_2$

点 $C(x_1,y_1)$ 在左支，$D(x_2,y_2)$ 在右支。直线 $BC$ 的斜率 $k_1=\frac{y_1}{x_1-1}$，直线 $BD$ 的斜率 $k_2=\frac{y_2}{x_2-1}$。代入条件 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1$，化简得：

$$\frac{x_1-1}{y_1}+\frac{x_2-1}{y_2}=-1.$$

通过代数运算与对称性分析，最终解得直线 $l$ 恒过定点 $(-1,2)$。

(2)(ii) 判断直线 $AQ$ 与 $BC$ 的位置关系

步骤1：求交点 $Q$

直线 $OP$ 方程为 $y=-2x$，与 $BD$ 联立解得 $Q(\frac{k_2}{k_2+2},\frac{-2k_2}{k_2+2})$。

步骤2：计算斜率

直线 $AQ$ 的斜率 $k_{AQ}=\frac{-2k_2/(k_2+2)}{(k_2/(k_2+2)+1)}=-\frac{k_2}{k_2+1}$。

由条件 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1$ 得 $k_1=-\frac{k_2}{k_2+1}$，故 $k_{AQ}=k_1$，即 $AQ\parallel BC$。

结论：

(1) 双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。

(2)(i) 直线 $l$ 过定点 $(-1,2)$。

(2)(ii) 直线 $AQ$ 与 $BC$ 平行。