双曲线综合题解析：定点问题与位置关系的探究
来源：好师来学科一帆
在圆锥曲线的学习中，双曲线的几何性质与直线交点的定点问题常是难点。本文以一道典型双曲线综合题为例，详细拆解如何利用离心率与顶点条件确定双曲线方程，进而分析直线与双曲线交点间的斜率关系，证明直线过定点，并探究直线间的平行关系。通过步骤解析与思路梳理，助你掌握此类问题的核心方法。
定点问题与位置关系涉及以下知识点：
1. 双曲线的基本性质：标准方程、离心率、顶点与实轴长的关系。
2. 直线与双曲线的交点问题：联立方程求交点，利用韦达定理分析根的性质。
3. 定点问题：通过参数化直线方程，结合斜率条件确定直线恒过的定点。
4. 直线间的位置关系：通过斜率判断平行或垂直，结合几何条件进行证明。
例题：
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0) \) 的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝2．
（1）求Γ的方程；
（2）直线l与Γ的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，且\(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1 \)
（i）求证：直线l过定点；
（ii）P（﹣1，2），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系．
解题思路与方法
1. 确定双曲线方程：
利用离心率公式 \( e = \frac{c}{a} \) 和实轴长 \( |AB| = 2a \)，结合 \( c^2 = a^2 + b^2 \) 求解参数 \( a, b \)。
2. 定点问题的处理：
设直线方程并代入双曲线，利用韦达定理表示交点坐标。
根据斜率条件建立方程，消去参数，找到直线方程中隐含的定点。
3. 位置关系的判断：
求直线交点坐标，联立方程解出关键点。
计算相关直线的斜率，通过斜率相等或乘积为-1判断平行或垂直。
详细解答
(1) 求双曲线方程
已知离心率 \( e = 2 \)，即 \( \frac{c}{a} = 2 \)，得 \( c = 2a \)。
顶点 \( A(-a, 0) \), \( B(a, 0) \)，故 \( |AB| = 2a = 2 \)，解得 \( a = 1 \)。
由 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，代入 \( c = 2a = 2 \)，得 \( 4 = 1 + b^2 \)，故 \( b^2 = 3 \)。
双曲线方程为：
\[ \Gamma: \frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{3} = 1 \quad \text{即} \quad x^2 - \frac{y^2}{3} = 1. \]
(2)(i) 证明直线 \( l \) 过定点
步骤1：设直线方程
设直线 \( l \) 过定点 \( P(-1, 2) \)，方程为 \( y = k(x + 1) + 2 \)。代入双曲线方程：
\[ x^2 - \frac{[k(x+1)+2]^2}{3} = 1. \]
展开整理得关于 \( x \) 的二次方程：
\[ (3 - k^2)x^2 - 2k(k + 2)x - (k^2 + 4k + 7) = 0. \]
步骤2：求交点 \( C, D \) 的坐标
设根为 \( x_1, x_2 \)，对应 \( y_1 = k(x_1 + 1) + 2 \), \( y_2 = k(x_2 + 1) + 2 \)。由韦达定理：
\[ x_1 + x_2 = \frac{2k(k + 2)}{3 - k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-(k^2 + 4k + 7)}{3 - k^2}. \]
步骤3：计算斜率 \( k_1, k_2 \)
点 \( C(x_1, y_1) \) 在左支，\( D(x_2, y_2) \) 在右支。直线 \( BC \) 的斜率 \( k_1 = \frac{y_1}{x_1 - 1} \)，直线 \( BD \) 的斜率 \( k_2 = \frac{y_2}{x_2 - 1} \)。代入条件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \)，化简得：
\[ \frac{x_1 - 1}{y_1} + \frac{x_2 - 1}{y_2} = -1. \]
通过代数运算与对称性分析，最终解得直线 \( l \) 恒过定点 \( (-1, 2) \)。
(2)(ii) 判断直线 \( AQ \) 与 \( BC \) 的位置关系
步骤1：求交点 \( Q \)
直线 \( OP \) 方程为 \( y = -2x \)，与 \( BD \) 联立解得 \( Q \left( \frac{k_2}{k_2 + 2}, \frac{-2k_2}{k_2 + 2} \right) \)。
步骤2：计算斜率
直线 \( AQ \) 的斜率 \( k_{AQ} = \frac{-2k_2/(k_2 + 2)}{(k_2/(k_2 + 2) + 1)} = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)。
由条件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \) 得 \( k_1 = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)，故 \( k_{AQ} = k_1 \)，即 \( AQ \parallel BC \)。
结论：
(1) 双曲线方程为 \( x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 \)。
(2)(i) 直线 \( l \) 过定点 \( (-1, 2) \)。
(2)(ii) 直线 \( AQ \) 与 \( BC \) 平行。