2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，
，则A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
3．（5分）已知直线y＝2x是双曲线
的一条渐近线，则C的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．或
4．（5分）将函数y＝sinx的图像向左平移φ（0＜φ＜2π）个单位，得到函数y＝g（x）的图像，则“y＝g（x）是偶函数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知向量
，若
，则t＝（ ）
A．1或
B．﹣2或 C．﹣1或2 D．﹣2或1
6．（5分）设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（ ）
A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c
7．（5分）已知
，则λ＝（ ）
A．1 B．
C．
D．2
8．（5分）对∀x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，则（ ）
A．若
，则b≤e B．若，则b＞e
C．若
，则ab＝ee D．若，则ba＝ee
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（ ）
A．若f（x）min＝f（1），则a＝1
B．若f（x）min＝f（1），则
C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减
D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），则（ ）
A．f（1）＝0 B．f（f（x））＝x
C．f（xy）＝f（x）f（y） D．f（x+y）＝f（x）f（y）
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为 ．
13．（5分）已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①
；②|z1z2|＝2，则z1＝ ，z2＝ ．（写出满足条件的一组z1和z2）
14．（5分）已知双曲线C1，C2都经过点（1，1），离心率分别记为e1，e2，设双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，则
．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知在△ABC中，
．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积．
16．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
．
（1）求C的方程；
（2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值．
17．一设随机变量X所有可能的取值为x1，x2，⋯，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，⋯，n），且p1+p2⋯+pn＝1．定义事件X＝xi的信息量为Hi＝﹣lnpi，称X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+⋯+pnlnpn）为信息熵．
（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此时的信息熵；
（2）最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定．证明：H（X）≤lnn，并解释等号成立时的实际意义．
（参考不等式：若f（x）＝lnx，则
18．已知函数f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．
（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；
（2）若0≤a≤3，求证：f（x）＜0；
（3）若
使得h（x1）＝h（x2）＝b，求证：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．
19．已知正项有穷数列A：a1，a2，⋯，aN（N≥3），设
，记T的元素个数为P（T）．
（1）若数列A：1，2，4，16，求集合T，并写出P（T）的值；
（2）若A是递增数列或递减数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等比数列”；
（3）若N＝2n+1，数列A由2，4，8，⋯，2n，4n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数．
