2025年天津市三校高考数学适应性试卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．

1．（5分）已知集合，则M∩N＝（　　）

A．{5，3} B．{（5，0），（0，3）} 

C．[﹣5，5] D．∅

2．（5分）“tanx＝tany”是“x＝y+2kπ（k∈Z）”的（　　）

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件 

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

3．（5分）函数的部分图象大致为（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

4．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1中点，则点D到直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球球心的距离是（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）中国南北朝时期的数学著作孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（　　）

A．63199 B．59288 C．59287 D．59189

6．（5分）设，则（　　）

A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a

7．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，

则下列说法正确的是（　　）

A．m＝18 

B．变量y与x是负相关关系 

C．x增加1个单位，y一定增加3个单位 

D．该回归直线必过点（5，17）

8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点F1且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）关于x的方程（2x﹣1﹣1）2﹣|2x﹣1﹣1|+k＝0，给出下列六个命题：

①存在实数k，使得方程恰有0个实根；②存在实数k，使得方程恰有1个的实根；

③存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根：④存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；

⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根：⑥存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根．

其中，真命题的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则i3•z＝      ．

11．（5分）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的x2系数为    ．

12．（5分）从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体A﹣BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有    种．

13．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，则p＝               ．

14．（10分）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是               ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，X表示他参加补考的次数，则X的数学期望是               ．

15．（5分）已知O为△ABC的重心，直线MN过O，交线段AB于M，交线段AC于N，其中，则12m+3n的最小值为  ．

三、解答题：本大题共5个小题，共计75分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．答案写在答题卡的相应位置上．

16．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．

（1）求角A的大小；

（2）若，求b的长和△ABC的面积．

17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，AE∥PD，AD＝PD＝2EA，F、G、H分别为PB、EB、PC的中点．

（1）求证：HG∥平面PED；

（2）求平面FGH与平面PBC夹角的大小；

（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为45°？

18．若数列{an}满足a1＝1，且存在正整数m，使得an为奇数时，an+1＝an+2m﹣1；an为偶数时，，称{an}为m阶跳跃数列，记d（i，j）＝|ai﹣aj|．

（1）若数列{an}为m阶跳跃数列，且对任意1≤i＜j≤6，d（i，j）≠0，求m最小时d（i，j）的最大值及此时数列{an}的前2025项的和；

（2）已知m为正整数，数列{an}为2m﹣1阶跳跃数列．

①求d（i，j）的所有不同值的和T．

②对任意m∈N*，m≥2，令，求证：．

19．如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为F1，F2，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过椭圆左焦点F1（﹣2，0），作圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的切线，求切线方程．

（3）设P为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2，与椭圆的交点分别为A，B和C，D．是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

20．设函数．

（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）证明：不等式．