高中物理试题答案与解析
如图所示，一水平放置的半径为R的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着1、2两个大小相同的小球，他们的质量分别是m1、m2，小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计，且槽的内半径远大于球的半径。
（1）若1号球以初速度v0出发，与2号球发生碰撞，并粘在一起。求碰后两球需要的向心力。
（2）若1号球与2号球发生的是弹性碰撞，且碰撞地点构成一个等边三角形，讨论m1：m2的值。
（3）若两球发生的碰撞为非弹性碰撞，定义恢复系数为
，请计算从第一次到第2n+1次碰撞过程中B的路程（用m1、m2、e、R、n表达）。
【解答】解：（1）由题意可知1号球和2号球碰撞过程动量守恒，则有：m1v0＝（m1+m2）v
碰后对两球整体，由牛顿第二定律有：F＝
联立得到：F＝
（2）若两球发生弹性碰撞，以碰撞前球1速度方向为正方向，有：m1v0＝m1v1+m2v2
机械能守恒：
联立解得：
，
根据题意，当m1＜m2时，小球1反弹，反弹后与2号在Ⅲ位置相遇，则有：﹣v1＝2v2
代入两式有：m2﹣m1＝4m1
整理可得：m1：m2＝1：5
当m1＞m2时，小球1不反弹，则2号多跑一圈，再追上1号，则：v2＝4v1
即：2m1＝4m1﹣4m2
解得：m1：m2＝2：1
（3）令1号球和2号球分别为A、B；若两球发生的碰撞为非弹性碰撞，第1次碰后，两球相对远离速度为ev0，B比A多跑一圈后发生第2次碰撞，（B绕到A后而，下次碰撞的靠近速度就是ev0），运动时间为t1，则：
碰撞过程动量守恒，以v0的方向为正方向有：m1v0＝m1vA1+m2vB1
且由恢复系数定义有：
解得：
，vA1＝
那么B路程为：s1＝
第2次碰，B追上A，两球相对远离速度为e2v0，A比B多跑一圈，A比B多跑一圈后发生第3次碰撞，运动时间为t2，则：
碰撞过程动最守恒，以v0的方向为正方向有：m1v0＝m1vA2+m2vB2
且同理有：
解得：
，
B路程为：s2＝
…
第2n次碰撞，B追上A，两球相对远离速度为e2nv0，碰后A比B多跑一圈后，即将发生第2n+1次碰撞。
综上所述，B的路程为s＝s1+s2+………+s2n+1
代入数据得：s＝
答：（1）碰后两球需要的向心力为
。
（2）讨论m1：m2的值情况是：①当m1＜m2时，m1：m2＝1：5；②当m1＞m2时，m1：m2＝2：1；
（3）若计算从第一次到第2n+1次碰撞过程中B的路程为。
（1）根据动量守恒定律和向心力的公式求解；
（2）根据弹性碰撞的两个守恒，结合三次碰撞的位置关系，第一次碰撞后分两种情况考虑，列碰撞后速度的关系式，联立得到两小球的质量之比；
（3）根据动量守恒定律、恢复系数定义和位置关系分别求出第一次、第二次……第2n+1次碰撞B球的路程，相加得到总路程。