利用图形旋转解决中考几何的部分几何题目

综合与探究

【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．

【初步探究】

（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．

【类比探究】

（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是CD，BC上的点，且DE＝1．连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，请直接写出BF的长．

【深入探究】

（3）如图3，D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且∠APD＝120°，∠MPC＝60°．试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．

【拓展应用】

（4）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，AD＝CD，，，请直接写出BC的长．

参考答案：

（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图：

∴DE＝BG＝1，AE＝AG，∠DAE∠BAG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠C＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAE+∠BAF＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，

∴∠EAF＝∠GAF，

∵AF＝AF，

∴△AGF≌△AEF（SAS），

∴GF＝EF，

设BF＝x，则EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，

∴EF2＝CF2+CE2，即（x+1）2＝（3﹣x）2+4，

解得x＝，

∴BF＝；

（3）解：PA＝PD，延长PM至F，使得PF＝PC，连接CF，BF，如图：

∵∠MPC＝60°，

∴△PFC是等边三角形，

∴CF＝CP，∠FCP＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠BCA＝60°，

∴∠BCF＝∠ACP，

∴△BCF≌△ACP（SAS），

∴PA＝BF，∠APC＝∠BFC，

∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣60°，

∴∠MPD＝360°﹣∠APD﹣∠APF＝360°﹣120°﹣（∠APC﹣60°）＝300°﹣∠APC，

∵∠MFP＝360°﹣∠PFC﹣∠BFC＝360°﹣60°﹣∠BFC＝300°﹣∠BFC，

∵APC＝∠BFC，

∴∠MPD＝∠MFB，

∵M是BD的中点，

∴BM＝DM，

∵∠PMD＝∠FMB，

∴△DPM≌△BFM（AAS），

∴PD＝BF，

∴PA＝PD；

（4）解：过点D作DE⊥BD，连接BE，CE，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，如图：

∵DE⊥DB，∠ADC＝90°，

∴∠BDE＝∠ADC＝90°，

∵∠CDE+∠BDC＝∠BDE，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，

∴∠CDE＝∠ADB，

∵CD＝AD，DE＝BD，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴CE＝AB＝2，∠CED＝∠ABD，

∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，

∴∠CED+∠CBD＝60°，

根据外角的性质可得∠BCE＝∠BCG+∠ECG＝∠CBD+∠BDC+∠CDE+∠CED＝∠CBD+∠BDE+∠CED＝60°+90°＝150°，

∴∠ECF＝30°，

∴EF＝CE＝，CF＝＝3，

∵∠BDE＝90°，DE＝BD＝，

∴BE＝，

∴BF＝＝＝11，

∴BC＝BF＝CF＝11﹣3＝8．