半角模型在初中几何中的题目类型与解题思路

例题：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD，其中正确的个数有（　　）    A．1个 B．2个          C．3个            D．4个

解：∵AF⊥AE，

∴∠FAE＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠FAB＝∠EAC，

∵AB＝AC，AF＝AE，

∴△ABF≌△ACE（SAS），

故①正确；

∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°，

∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，

∴∠FAD＝∠DAE，

∵AD＝AD，AF＝AE，

∴△FAD≌△EAD（SAS），

∴∠FDA＝∠EDA，

∴AD平分∠EDF，

故②正确；

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，BCAB，

∵△ABF≌△ACE，

∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，

∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，

∴DF5，

∵△FAD≌△EAD，

∴FD＝ED＝5，

∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，

∴AB＝6，

故③正确；

∵AB＝BE，∠ABE＝45°，

∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，

∵∠DAE＝45°，

∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，

∴∠ADB＝∠AEC，

∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴BD＝CE，

∵BF＝CE，

∴BD＝BF，

∵∠FBD＝90°，

∴DFBD，

∴DEBD，

∴S△ADES△ABD，

故④错误；

综上所述，正确的个数有3个，

故选：C．

已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．

（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝  ．

（1）证明：∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，

∵CE＝EF+CF，

∴CE＝BE+AE；

（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，

图②的理由如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，

∵CE＝EF﹣CF，

∴CE＝BE﹣AE，

图③的利用如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，

∵CE＝CF﹣EF，

∴CE＝AE﹣BE；

（3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；

在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，

综上所述，CE＝3或5，

故答案为：3或5．