2025年广东省深圳高级中学高中园高考数学二模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣3＜0}，
，则A∩B＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），若z
4，则复数z的共轭复数
（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
3．（5分）已知向量
，若
∥
，则实数x＝（ ）
A．
B．4 C．
D．
4．（5分）已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为（ ）
A．57π B．50π C．25π D．42π
5．（5分）奇函数f（x）＝2cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的单调减区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）若a＝log318，b＝ln（2e2），
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．（5分）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
8．（5分）已知双曲线C：
的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且
，
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
D．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
（多选）10．（6分）随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N（3，1），Y～B（6，），则（ ）
A．E（X）＝E（Y） B．D（X）＝D（Y）
C．P（X≤1）＝P（X≥5） D．P（Y≤3）＞P（X≥4）
（多选）11．（6分）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（
）
B．f（x+7）为奇函数
C．f（x）在（6，8）上为减函数
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知
，则tanθ＝ ．
13．（5分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4，则
．
14．（5分）设函数f（x）＝2x3+ax2+bx，若f（x）的图象过点P（1，3），且曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线也过点P，则a＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．
（1）若
，求CD的长；
（2）若AD＝2，求cos∠ABD．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，AA1＝3，侧面ACC1A1⊥底面ABC．
（Ⅰ）证明：BD⊥A1C；
（Ⅱ）当
时，求平面A1B1C与平面ABB1A1夹角的余弦值．
17．（15分）已知点
，
，A（2，﹣1），直线EM，FM相交于点M，且它们的斜率之积是
．
（1）求动点M的轨迹方程Ω；
（2）直线l与曲线Q交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且
，求△PAQ的面积．
18．（17分）已知函数f（x）＝2ex
（a﹣2）x﹣4（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a∈（﹣∞，2e），求函数f（x）在区间x∈（﹣∞，2]上的零点个数．
19．（17分）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为
和．已知居民第一天选择路线A的概率为
，选择路线B的概率为
．
（1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；
（2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为Pn；
（i）请写出Pn+1与Pn（n∈N*）的递推关系；
（ii）设Mn
4，求证：
．
