2024-2025学年北京十三中九年级（下）月考数学试卷（2月份）

一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）

2．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）

3．（2分）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（　　）

A． B． C． D．

4．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y＝3（x﹣5）2+2 B．y＝3（x+5）2+2 

C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+5

5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　）

A．51° B．49° C．40° D．39°

6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（　　）

A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y2＜y1＜1 D．y1＜y2＜1

7．（2分）质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下：

下面四个推断合理的是（　　）

A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921

B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920

C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920

D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921

8．（2分）如图，点A是⊙O上一点，点B，C为⊙O上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以∠BAC＝120°作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（　　）

①BC垂直平分OA；②四边形OBAC是平行四边形；③∠BOC＝120°．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题（共16分，每小题2分）

9．（2分）写出一个开口向下，且过点（0，1）的二次函数的解析式                ．

10．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是    （填“相交”、“相切”或“相离”）．

11．（2分）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为    米．

（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73）

12．（2分）据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了5.1%，设这两年的平均增长率为x，列出方程               ．

13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为             ．

14．（2分）如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝140°．若C为⊙O上任一点（不与点A，B重合），则∠ACB的大小为          ．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是    ．

16．（2分）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为              ．

三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）计算：|﹣5|．

18．（5分）解方程：x2+8x＝9．

19．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+3）（2x﹣3）﹣x（x+1）的值．

20．（5分）下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，△ABC．

求作：直线BD，使得BD∥AC．

作法：如图2，

①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；

②以点O为圆心，OA长为半径作圆；

③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交劣弧于点D；

④作直线BD．

所以直线BD就是所求作的直线．

根据设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：连接AD，

∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，

∴                ．

∴∠DBA＝∠CAB                 （填推理的依据）．

∴BD∥AC．

21．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．

（1）将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，并写出其图象的顶点坐标；

（2）求此函数图象与x轴交点的坐标；

（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．

22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

23．（6分）2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组．

（1）小东被分配到A组是    事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；小东被分配到A组的概率是               ．

（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．

24．（6分）如图，AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，BO的延长线交弦CD于点E，CE＝DE，连接OD．

（1）求证：∠A＝∠DOE；

（2）若OD∥AC，⊙O的半径为2，求AB的长．

25．（6分）某兴趣小组通过实验研究发现：当音量x（单位：dB）满足40≤x≤70时，听觉舒适度y与音量x之间满足二次函数关系．当音量为45dB时，听觉舒适度为6；当音量为55dB时，听觉舒适度达到最大值10．

（1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

（2）在家听音乐时，小明听到的音量x与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离d的取值范围           （结果保留小数点后一位）．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上．对于x1＝﹣2，a﹣1＜x2＜a+1都有y1＜y2，求a的取值范围．

27．（7分）在正方形ABCD中，E为射线AB上一点（不与点A，B重合），将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，作FG⊥CF交射线AB于点G．

（1）如图1，当点E在线段AB上时，

①依题意补全图形，并证明∠ADE＝∠FEG；

②用等式表示线段AE和EG之间的数量关系，并证明；

（2）已知AB＝1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接写出使△EFG是等腰三角形的AE的长度；若不能，说明理由．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转90°得到的对应点P′在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．

（1）图形W是线段AB，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，2），

①如图1，在点P1（﹣1，2），P2（2，4），P3（3，﹣1），P4（4，0）中，线段AB的“关联点”是                 ；

②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，求b的取值范围；

（2）图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．已知点M（6，0），N（0，2）．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．